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打破蒙汉隔阂，与蒙古的史实不符，题干内容也没有涉及，题干信息反映的是“蒙古立国之初就实行科举考试，用儒术选士，中举者享有免除徭役、赋税，与长官同署公事的权利”，排除A项；
唐朝时期不断完善科举制度，与蒙古的史实不符，题干内容也没有涉及，题干信息反映的是“蒙古立国之初就实行科举考试，用儒术选士，中举者享有免除徭役、赋税，与长官同署公事的权利”，排除B项；
发扬儒家思想，是指对儒家的思想发展，题干内容也没有涉及，题干信息反映的是“蒙古立国之初就实行科举考试，用儒术选士，中举者享有免除徭役、赋税，与长官同署公事的权利”，排除C项；
根据题干信息“蒙古立国之初就实行科举考试，用儒术选士，中举者享有免除徭役、赋税，与长官同署公事的权利”，结合所学知识可知，通过科举，蒙古能够有效地吸纳汉族人才，促进文化的交流与融合，进而实现更为稳固的统治，D项正确。
故选：D。
本题主要考查了蒙古政权的统治，解题的关键是正确识读题干材料。
本题主要考查学生识记和分析历史知识的能力。理解并识记蒙古政权的统治。